ハミルトニアンというのは系全体のエネルギーを表す関数のことです(http://hooktail.sub.jp/analytic/hamiltonian/)。
 古典力学(解析力学)では

と書きます。運動量はmvとは書かず、pと書きます。
 量子力学ではpを演算子に置き換えます。

同様に、古典力学の位置rに対応する演算子を「位置演算子」、古典力学の運動量pに対応する演算子を 「運動量演算子」、古典力学の角運動量Lに対応する演算子を「角運動量演算子」、古典力学のエネルギーEに対応する演算子を「エネルギー演算子」といいます(http://homepage3.nifty.com/rikei-index01/ryousikagaku/enzansi.html)。

 そもそも解析力学というのは、直線運動ならば直線直交座標(デカルト座標)、円運動ならば極座標が扱いやすい、という状況で、座標の変換の手間を省く目的で生まれたものです。大学の時教わって、感動したことを覚えています。

 解析力学ではラグランジュの運動方程式なるものが登場します(http://hooktail.sub.jp/analytic/equationOfLagrange/)。これはニュートンの運動方程式と同じものです。ラグランジアンというのは質点の運動エネルギーマイナスポテンシャルエネルギーです。ラグランジアンを速度で偏微分したものは運動エネルギーを偏微分したものに等しくなりますし、ラグランジアンを位置で偏微分したものはマイナスポテンシャルエネルギーを偏微分したものに等しくなります。

 ハミルトニアンはラグランジアンをルジャンドル変換したものです。ルジャンドル変換とは関数の独立変数xの代わりに(位置の代わりに)、xの偏微分(速度→運動量)を独立変数にしたものです。

 

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